基于线性回归的动脉粥样硬化生存分析模型

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效率分析专题(TFP·DEA·SFA)

生存分析专题

本文选自知乎文章，作者：WANG

Logistic回归为概率型非线性回归模型，是研究二分类观察结果

与一些影响因素之间关系的一种多变量分析方法。通常的问题是，研究某些因素条件下某个结果是否发生，比如医学中根据病人的一些症状来判断它是否患有某种病。

在分类情形下，经过学习后的LR分类器(LogisticRegressionClassifier)是一组权值

，当测试样本的数据输入时，这组权值与测试数据按照线性加权得到，见公式1。其中

是每个样本的

个特征。

接着，按照sigmoid函数的形式计算，见公式2。由于sigmoid函数的定义域为

，值域为

，如图1所示。因此，最基本的LR分类器适合对两类目标进行分类。因此，Logistic回归最关键的问题就是研究如何求得

。

考虑具有

个独立变量的向量

，设条件概率

为根据观测量相对于某事件

发生的概率。那么Logistic回归模型可以表示为：

同理，在

条件下

不发生的概率为：

因此，事件发生与不发生的概率比为：

这个比值称为事件的发生比odds，对odds取对数得到：

针对上述问题的参数求解采用极大似然估计。假设有

个观测样本

，观测值分别为

，设

为给定条件下得到

的概率。同样的，

的概率为

。因此，得到一个观测值的概率为：

假设各个观测样本之间满足独立同分布，因此其联合分布为各边缘分布的乘积，得到似然函数为：

因此，参数估计的目标为求出使

值最大的参数

。对函数

求对数得到：

继续对这

个

分别求偏导，得到

个方程，例如对参数

求偏导可以得到：

令上述偏导等于0即是求解

的极大似然估计值

。一般来说，上述导数无法解析求解，因此常常借助其他方法求解，例如：梯度下降、随机梯度下降、改进的梯度下降等，此处从略。

事件（Event）指研究中规定的生存研究的终点，在研究开始之前就已经制定好。根据研究性质的不同，事件可以是患者的死亡、疾病的复发、仪器的故障，也可以是下岗工人的再就业等等。

生存时间(Survivaltime)指从某一起点到事件发生所经过的时间。生存是一个广义的概念，不仅仅指医学中的存活，也可以是机器出故障前的正常运行时间，或者下岗工人再就业前的待业时间等等。有的时候甚至不是通用意义上的时间，比如汽车在出故障前的行驶里程，也可以作为生存时间来考虑。

删失（Sensoring）指由于所关心的事件没有被观测到或者无法观测到，以至于生存时间无法记录的情况。常由两种情况导致：（1）失访；（2）在研究终止时，所关心的事件还未发生。

生存函数(Survivalfunction)又叫累积生存率，该函数的意义是生存时间大于时刻

的概率，

时

。见公式11，其中

为生存时间。

严格来说，生存函数应该被称为生存时间分布函数，如公式12：

生存率

的估计包括参数法和非参数法。常用的非参数法包括：

乘积极限法(Kaplan-Meier法)：主要用于观察例数较少而未分组的小样本资料；

寿命表法：适用于观察例数较多且分组的大样本资料；

例如：Kaplan-Meier法又称乘积极限法(product-limit，PL法)：利用条件概率及概率的乘法原理计算生存率及其标准误差

将生存时间由小到大依次排列，在每个死亡点上，计算其期初人数、死亡人数、死亡概率、生存概率和生存率。

中位生存时间(mediansurvivaltime)生存时间中位数，表示50%的个体可存活的时间，即生存率为50％时对应的生存时间。

风险函数(HazardFunction)是生存到时间

的病人在时间

的瞬时死亡率或条件死亡速率，用

表示：

即

将生存函数/风险函数表示为某些相关的自变量的一个函数，见公式15：

其中，

为基础风险函数（baselinesurvivalfunction），它是全部协变量都为0或标准状态下的风险函数，一般是未知的。

表示当各协变量值固定时的风险函数，它和

成比例。各偏回归系数根据样本数据，采用极大似然估计取得，这一点与Logistic回归模型一致，即：

风险比(HazardRatio,HR)，理论上约等于相对危险度(RiskRatio,RR)

定义时刻

，

的CVD患病风险

等于时刻

的CVD患病风险

加上时刻

存活的病人在时刻

瞬间患病的概率，即：

为时刻

的生存率，10年患病风险即

的患病风险，代入公式15可得：

定义30岁为基础风险函数起始时刻

生存时间间隔

在时刻

时相对于30岁的CVD患病基础风险函数为：

其中，

在时刻

时相对于30岁的非CVD死亡基础风险函数为：

其中，

在时刻

时的累计生存率为总体去掉CVD患病概率和非CVD死亡概率后的概率，即：

时刻

的CVD患病风险为：

例如：10年CVD患病风险为：

初次患病中位年龄

参考中位生存时间，当生存率

时对应的时刻

初次患病年龄

心脏年龄(HeartAge)

计算方法见公式26：

其中[公式]的值参考如下（参数来源于JBS3论文）：

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